Funciones: 2010

martes, 9 de noviembre de 2010

Función Partida

martes, 26 de octubre de 2010

Función Homográfica

Función Homográfica

Función Homográfica

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Fuente: http://www.slideshare.net/tito.carrreras/funciones-racionales-1153864

Función Homográfica

martes, 19 de octubre de 2010

Función Homográfica

Este tipo de funciones se incluyen dentro de las Funciones potenciales f_(x) = x^a donde a es un número cualquiera menor que cero, a < 0 .
Veamos que sucede cuando a = -1.
Grafiquemos f_(x) = x ^{– 1}podemos expresar esta ecuación de otro modo:

Completemos la tabla y coloquemos los puntos en un eje cartesiano:

x	- 5	- 4	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4	5
f _(x)	- 0,20	- 0,25	- 0,33	- 0,50	- 1,00	No existe	1,00	0,25	0,33	0,25	0,20

No se puede dividir ningún número por cero, ya que todo número multiplicado por cero da como resultado únicamente cero. Así que del dominio de este tipo de funciones, hay que sacar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.

Dominio: R – {0}

Vimos que no podemos calcular el valor de la función cuando x = 0. Cabe preguntarnos ¿qué sucede con los valores cercanos de cero? Completemos el cuadro poniendo valores cada vez más cercanos a ese número.

x	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	- 0,1	- 0,001	- 0,0001	- 0,00001
f _(x)	10	100	1000	10000	100000	- 10	- 100	- 1000	- 100000

Vemos que a medida que el valor de x es se acerca a cero (se dice: tiende a cero) el resultado crece, tiende a infinito.

El valor que tiende f_(x) es el límite. Imagínate una pared a la que puedes acercarte todo lo que quieras, pero no la puedes tocar, esa misma representación es el límite. Cuando x → 0 (x tiende a cero), f_(x) → ∞ ( f_(x) tiende a infinito) y el infinito es el límite, el valor al que te podes cercar, pero no llegar.

De manera semejante, observamos que podemos acercarnos a cero cuanto queramos pero jamás x va a ser igual que cero, (x = 0). Este valor representa un corte en la función, lo llamamos asíntota. Este corte es paralelo al eje y, así que se lo llama Asíntota Vertical (A. V.)

Asíntota Vertical: {0}

Hagamos otra tabla con valores cada vez más grandes:

x	-1000	-100	-10	-1	No existe	1	10	100	1000
f _(x)	- 0,001	- 0,01	- 0,1	- 1	0	1	0,1	0,01	0,001

¿Qué sucede con la imagen?.

A medida que los valores de x se hacen más grande (tiende a infinito), o se hacen más chicos (tiende a menos infinito), los resultados son cada vez más pequeños. Pero la división de dos números jamás dará como resultado cero. Sobre el eje y hallamos este número que no es imagen de ningún elemento del dominio. Hallamos que este valor es una asíntota paralela al eje x, por lo que la llamamos Asíntota horizontal (A. H.). Asíntota Horizontal: {0}

Para cualquier función homográfica puede representarse como

Las asíntotas están relacionadas con los límites.

La asíntota vertical está ubicada en el valor de las x cuyo límite tiende a infinito.

Para cualquier valor de a tenemos que:

La asíntota vertical es el valor de a. A.V. = {a}

La asíntota horizontal es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.

Para cualquier valor de b tenemos que

La Asíntota horizontal es el valor de b. A. H. ={b}.

Fuente: http://soko.com.ar/matem/matematica/func_homog.htm

Función Homográfica

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.^[1]
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional

Función Cuadrática

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Fuente: http://www.slideshare.net/juanjoexpo/funcion-cuadratica

Función Cuadrática

martes, 12 de octubre de 2010

Función Cuadrática

Discriminante negativo

Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Si tenemos la función siguiente:

$y = - x^2 - 4x - 6 \,$

que corta el eje x cuando:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad - x^2 - 4x - 6 = 0 \,$

para encontrar su solución haremos:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 (-1) (-6)}}{2 (-1)}$

Haciendo las operaciones, tendremos:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}$

Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar haciendo las operaciones, por lo que podemos decir que esta función no tiene corte con el eje x, como se ve en la figura.
Si tenemos en cuenta la existencia de los números imaginarios, podemos realizar las siguientes operaciones:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{8(-1)}}{2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{8} \, \sqrt{-1}}{2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{8} \; i }{2}$

Continuando con las operaciones:

$x = \frac{-4}{2} \pm \frac{\sqrt{8} \; i}{2} \quad x = \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\frac{8}{4}} \; i \quad x = -2 \pm \sqrt{2} \; i$

dando como solución:

$x_1 = -2 + \sqrt{2} \; i$

$x_2 = -2 - \sqrt{2} \; i$

Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún punto, esa misma ecuación estudiada dentro de los números complejos presenta dos soluciones, cumpliéndose de este modo el Teorema fundamental del álgebra.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica#Discriminante_negativo

Función Cuadrática

Discriminante nulo

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en

x 1

, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

si la función cuadrática:

$y = -x^2 + 4x - 4 \,$

que cortara al eje de las x si:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad -x^2 + 4x - 4 = 0 \,$

su solución sera:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 (-1) (-4)}}{2 (-1)}$

Operando los valores, tendremos:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 16}}{-2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{-2}$

la raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale cero, y habrá una única solución:

$x_1 = x_2 = \frac{-4}{-2} = \frac{4}{2} = 2$

El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es tangencial de la función con el eje, ver figura.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica#Discriminante_nulo

Función Cuadrática

Discriminante positivo

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos:

x 1

x 2

Veamos por ejemplo la función:walter

$y = -x^2 + 4x + 5 \,$

que cortara el eje x cuando:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad -x^2 + 4x + 5 = 0 \,$

que tendrá por solución general:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

en este caso:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 (-1) 5}}{2 (-1)}$

que resulta:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-2}$

Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo:

$\Delta = 16 + 20 = 36 \,$

y por tanto tiene dos soluciones:

No se pudo entender (error de sintaxis): x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{-2} \quad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{-

operando:

$x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{-2}$

$x_1 = \frac{2}{-2} \quad x_2 = \frac{-10}{-2}$

$x_1 = -1 \quad x_2 = 5$

Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica#Discriminante_positivo

Función Cuadrática

Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

$y = ax^2 + bx + c \,$

tendremos que:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

donde:

$b^2 - 4 a c \,$

se le llama discriminante, Δ:

$\Delta = b^2 - 4 a c \,$

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica#Corte_con_el_eje_x

Función Cuadrática

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,$

lo que resulta:

$y = f(0) = c \,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica#Corte_con_el_eje_y

martes, 5 de octubre de 2010

Función Cuadrática

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:

$y = f(x) \,$

esto es:

$y = ax^2 + bx + c \,$

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

Funciones

lunes, 15 de noviembre de 2010

Función Partida

Función Partida

Función Partida

martes, 9 de noviembre de 2010

Función Partida

martes, 2 de noviembre de 2010

Función Partida

Función Homográfica

martes, 26 de octubre de 2010

Función Homográfica

Función Homográfica

Función Homográfica

Función Homográfica

martes, 19 de octubre de 2010

Función Homográfica

Función Homográfica

Función Cuadrática

Función Cuadrática

martes, 12 de octubre de 2010

Función Cuadrática

Función Cuadrática

Función Cuadrática

Función Cuadrática

Función Cuadrática

martes, 5 de octubre de 2010

Función Cuadrática